Limit Nedir

Öncelikle limit dediğimizde aklımıza sınır, uç gibi bişey geliyor. Hız limiti ya da kredi limiti olarak hala kullanıyoruz. Matematiksel anlamında ifade ettiği işlemde yine aynı kapıya çıkıyor. Limit işlemi ilk olarak Öklid ve Arşimet tarafından kullanılsa da sonradan tarihten siliniyor. Ta ki Newton ve Leibniz’in işlemlerinde gözükene kadar. Limiti anlamak için önce Arşimet ve Öklid’e bakmalı.

Limitin kullanım alanı

O tarihlerde dairenin alanı hesaplanamıyordu. Çünkü alan birbirine dik olan uzunlukların çarpılmasıyla bulunuyor ancak daire bir eğriden oluşuyordu. Zamanın zeki insanlarının bu probleme bir cevabı vardı. Dairenin içine sığdırabildikleri kadar üçgen sığdıracaklar ve üçgenlerin alanlarını toplayacaklardı. Her türlü üçgenin alanı trigonometri ile kolayca hesaplanabiliyordu. Üçgenler uçları dairenin merkezinde birleşecek ve diğer iki köşesi dairenin çevresine değecek şekilde çizildi. Her şey güzeldi ama dairenin alanı yaklaşık olarak bulunmuştu. Çünkü üçgen tabanları ile daire çevresinde her zaman küçük boşluklar kalıyordu. Çözüm üçgen sayısını arttırmakta yatıyordu. Çünkü ne kadar çok üçgen olursa o kadar gerçek alana yaklaşılıyordu. Gerçek alanı bulmak için sonsuz üçgen kullanmanız gerek, bunu elde yapamasak ta matematikle mümkün.

Üçgen sayısı her arttırıldığında hesaplanan alan artar. Fark edilmesi gereken üçgen sayısı arttıkça hesaplanan alan artmasına rağmen sonsuza gitmez, dairenin gerçek alanına yaklaşır. Dairenin gerçek alanı, üçgen alanlarının toplamı için bir limittir. Üçgen sayısı sonsuz tane olsa dahi hesaplanan alan, dairenin gerçek alanından daha büyük çıkamaz. Üçgen sayısı sonsuza yaklaştıkça dairenin alanı daha doğru ölçülür. Bu yaklaşma işlemine -hesaplanan alanın gerçek alana yaklaşması- limit denir. Limit alındığında bulunan sonuca da işlemin limiti denir Daire alanı gibi bazı problemlerde bize bu limit lazımdır. Bu hesap neredeyse Newton'dan beri bilim ve mühendisliğin temelidir. Sonsuz üçgenlerin alanlarının toplamı en fazla dairenin alanı olacaktır. Dolayısıyla dairenin alanı sonsuz üçgen işlemi için limit yani bir sınır oldu. Limit, asla varılamayacak bir değer ama aradaki farkı anlayamayacağımız kadar yaklaştığımız bir değer.

Bir değer ararken eğer değeri doğrudan hesaplayamıyorsak limit işlemine başvururuz. Limit bizi istediğimiz değere yaklaştırır. Bir noktadan sonra hayal edemeyeceğimiz kadar yaklaşırız ama o noktaya varmayız. Varamadığımız nokta işlemimizin limiti olur ve istediğimiz değere neredeyse ulaşmış oluruz. Mesela bir dairenin alan formülü   gibi.

Limiti kalkülüsün temeli yapan şey matematikte sağladığı esnekliktir. Hatırlayacağınız üzere lisede venn şeması üzerinde fonksiyonlar kurardık. Birinci kümemiz tanım kümesi, ikinci kümemiz görüntü kümesi olurdu. Tanım kümesinin elemanlarından görüntü kümesine oklar çıkartırdık. İşte Görüntü kümesinde olan ama tanım kümesinde o görüntüyü veren bir üye bulunmadığında limiti kullanıyoruz. Tanımlı olmayan görüntünün sağından ve solundan yaklaşıyoruz. Gerçek bir fonksiyonda yaklaşarak bulduğumuz değer ile gerçek görüntü arasında ayıramayacağımız ve ihmal edebileceğimiz kadar küçük fark kalır. Gerçek görüntü limit yani sınırdır. Biz de sınırın sağından ve solundan ona dokunabileceğimiz kadar yaklaşırız ve sınırın orada olduğundan emin oluruz.

Günlük hayatta limit

Uzaya doğru tutulan lazer sanki bir noktada kesiliyormuş gibi durur. Bunun sebebi kısmen atmosferin bitmesi fakat daha çok olan şey, lazerin sizden uzaklaştıkça görüş açınızın daralmasıdır.(a açısı) Gördüğümüz her ışın noktası, o noktayı gördüğümüz konum ile ilişkili bir a açısına sahiptir. Yani yakın taraftaki ışın üzerindeki noktaya bakarken a açımız büyüktür ve gözümüzü uzaktaki bir noktaya kaydırdığımızda daha küçük bir a açısı ile bakarız. Daha uzaktaki ışığa baktıkça a açısı gitgide küçülür fakat hiçbir zaman sıfır olmaz. Bu açı sıfıra yaklaştıkça baktığımız nokta da ışının kesildiği noktaya yaklaşır. Lazer ışığının bittiğini gördüğümüz konum, a açısının sıfıra yaklaşırkenki limitidir.

Limitin matematiksel tanımı

Matematikçiler için kesinlik önemlidir. Özellikle tanımların sınırını iyi çizmek isterler. Bu yüzden matematikçiler birkaç bişey karalamış. Matematik ile kurulacak bir tanım evrenseldir. Uzaylı da gelse kabul etmek zorunda yani.

Limiti hesaplarken ne yaptığınızı hatırlayın. Fonksiyon ‘’a’’da tanımsızsa tanımlı değerlerden ‘’a’’ya yaklaşarak ‘’b’’ye yakın değerler buluyorduk. İşte ‘’a’’ya ne kadar yaklaşırsak yaklaşalım sağından ve solundan verdiğimiz değerler arasında olduğunu kanıtladığımızda aksi iddia edilemez. ‘’b’’ verdiğimiz değerlerin görüntüsü arasında olmak zorundadır. Bunu matematiksel olarak x^2 üzerinden açıklayan resmi inceleyelim.

     1) Fonksiyonumuz x kare ve ikideki limitini bulacağız. İki zaten tanımlı ancak basit bir örnek başlangıç için daha iyi. Limitte x ikiye yaklaşıyor ancak hiçbir zaman iki olmuyor

    2) Limit alırken ikiye çok yakın bir ‘’a’’ sayısını fonksiyona koyup dörde çok yakın ‘’b’’yi buluyoruz.

    3) X ekseninde ikiye yaklaşan değerimizle iki arasındaki farkı kapsayan uzunluğa delta, y ekseninde dörde yaklaşan b ile dört arasındaki farkı kapsayan uzunluğa epsilon diyoruz.

    4) Her epsilon aralığının bir delta aralığı vardır. Bu yüzden epsilonu delta cinsinden bulup deltayı sıfıra götürürsek epsilonda sıfıra yaklaşır. ‘’b’’ değerim dörtten ancak bir epsilon boyu ötede olabileceği için o da dörde yaklaşmak zorundadır.

  5) Epsilon eşitsizliğinde mutlak değerden kurtulup deltaya uygun şekilde modifiye ediyoruz.

  6) Elimde iki eşitsizlik var |a-2| den büyük iki sabit sayım var. İki sayının birbirine göre durumu tespit etmem gerekiyor. Biri öbüründen büyük mü yoksa ikisi birbirine eşit mi? Şimdi en alttaki grafiğe bakın. ‘’a’’ sayısının ikiden en fazla delta kadar uzaklıkta olabilen bir sayı olduğunu hatırlayın. Görüntüsününde ‘’b’’ yani dörtten en fazla epsilon kadar uzaklıkta olduğunu aklınızda tutun. Deltayı 0,1 seçerek fonksiyona 1,9 ve 2,1 arasındaki değerleri tek tek girdiğimde fonksiyon bana 3,61 ile 4,41 arasındaki görüntüleri verecektir. İki sayının dörde olan uzaklıklarının farklı olduğuna dikkat edin. Size formel tanımın limiti nasıl ispatladığını göstermek için tek tarafı seçeceğim. Diğer tarafı seçsem epsilon ve delta sayıları farklı olur. Mutlak değer kullandığım için işlemlerim güvence altında. 1,9 ile 2 arasında bir a aldığımda görüntümün 3,61 ile 4 arasında olacağı kesindir. Deltayı belirlediğimde epsilonu istediğim değer yaparak oynayabileceğimi fark edin. Epsilon 10 olsa yine tüm ‘’a’’ değerlerimin görüntüleri aralıkta olur. Tabloda verilen |F(a)-4| < epsilon eşitsizliğini sağlıyor. Ancak epsilonu 1 yaparsam ‘’a’’ değerlerimin görüntülerinin bir kısmı aralıkta bir kısmı dışında olacaktır. O halde epsilonu 3,61 den daha küçük yapamam. Eğer epsilonum 10 olursa 2ye deltadan daha uzak olan a değerlerini de sağlar. O halde |a-2| < delta eşitsizliğim sağlanmaz. Deltanın tanımına terstir. İki eşitliğinde sağlanması için epsilon 3,61 olmak zorunda. Bu yüzden kitaplarda ancak ve ancak eşitlik sağlandığında limit gerçekler yazar. Epsilonumuzun boyu deltanın görüntüsünden büyük ya da küçük değil, eşit. Bu yüzden epsilon ile delta arasında fonksiyona uygun bir bağıntı vardır. Tabloda x yerine (2 - delta) yazarsanız (4 - epsilon) a eşit bir sayı bulursunuz. Aynı sayıları 6. Kısımdaki eşitlik ile uyumlu olduğunu bulacaksınız.

Sonuçta bir bağıntı bulduğunuzda ispatladığınız tek şey limitin aralıklarda olduğudur. Artık limitte ilk öğrendiğimiz şekilde deltayı anlayamayacağımız kadar küçültürsek a sayısı 2ye yaklaşmak zorundadır. Çünkü tüm tanımlar birbirini gerçeklemekte.