Koru Orman: Vektörel Çarpım

Vektörleri çarpınca çıkan sonucu bilirsiniz, merak edilesi şeyse neden o sonucun çıktığı ve bu sonuca neden ihtiyacımız olduğudur.

Hatırlayacak olursak iki vektörü vektörel çarptığımız vakit sonuç iki vektöre de dik ve vektörlerden oluşacak olan paralelkenarın alanı kuvvetinde olmakta. [axb = a.b.sin(alfa) ]

Vektörleri toplamanın anlaşılmayacak bir tarafı yoktu. Ama vektörleri çarpmak biraz sorunlu gibi. Örneğin vektörleri neden çarparız? Ne zaman bir vektörü toplamak yerine çarparız? Vektörleri çarptığımızda sonuç neden dik çıkar?

Ne yazık ki bütün soruları kaynaklarıyla açıklamak mümkün gözükmüyor. Çünkü henüz öyle bir kaynak görmedim.

Vektörleri neden çarparız?

Vektörleri neden çarptığımızı anlamak için çarpma işleminin farkına varalım.

Yan yana 2 ve 4 fayans düşünün. Bunları birbirine ekler, yani toplarsanız 6 fayansınız olduğunu kolayca görebilirsiniz. Şimdi de fayanslarla kaplı bir alan düşünün. Burası çarpma işlemi yapmak için güzel bir yer. 2 fayansı 4le çarpacağımız zaman 4 tane ikiliyi yan yana dizeriz. 4ün her bir birimi iki karoya sahiptir. Ya da 2 birimin her biri 4er karoya sahiptir. Sonuç olarak a ve b yi çarpıyorsak a nın her birimi için b miktarı kadar karo koyarız. Şimdi vektörlere dönelim.

Vektörleri toplamak iki vektörlerin kuvvetleri ve yönleriyle ilgilidir. Çarpmak ise birisinin her bir birimi için diğer vektörden koymak demektir.

Tabii vektörleri vektörel olarak çarparken işin içine birde yön bilgisi giriyor. Vektörel çarpmaya bir bisikletin direksiyonunu çevirmeden yan yatırarak dönüş yapmanız ile bir jiroskobun yalpalama hareketi iyi birer örnektir.

Vektörel çarpımın sonucu neden diktir?

Yön bilgisini dahil ederek yaptığımız çarpımın sonucunun neden dik olduğunu anlamak için açısal momentum grafiği ile vektörel çarpım grafiğini karşılaştıralım.

Momentum bildiğiniz üzere cismin hızı ile kütlesi çarpımı. Cisim dönüyorsa momentumunu yarıçap ile çarparak açısal momentumunu bulursunuz. Açısal momentumumuzun yönü aynı vektörlerin çarpımındaki gibi düzleme diktir. Sebebi momentumun vektörel olmasından, yani yönünün önem arz etmesinden kaynaklanır. Dönme hareketinin kendisi büyüklük olarak sayılarla ifade edilebilir ancak yönünün de bir önemi olduğu için vektörel gösterimi, gösterildiğinde tüm çarpımın yönünü temsil edebilecek bir eksen olan düzleme dik z eksenine konumlandırılır. Böylece çarpılan vektörlerdeki yönle ilgili en ufak değişiklik sonuç vektöründe gösterilebilir.

Peki neden yönünü sağ el kuralına göre seçeriz?

Hareketleri incelediğimiz koordinat sistemi sağ ele göre çizilmiştir. Yani x ve ye eksenlerini çizdikten sonra z ekseninin hangi yönünün pozitif olacağı sağ ele göre belirlenmiştir. Sol ele göre de belirleyebilirdik ama incelediğimiz hareketler bundan etkilenmez. Yani eksen seçimi bize kalmıştır.