Taylor Serisi Konu Anlatımı ve Çözümlü Örnekleri

Bu yazıda Taylor serisi ve Maclaurin serisinin ne olduğunu önce tek değişkenli fonksiyonlarda, sonra da çift değişkenli fonksiyonlarda inceleyeceğiz.

Taylor Serisi Nedir?

Taylor serisi, bir fonksiyonun polinom şeklinde yazmaya yarar. Bir fonksiyonun taylor polinomu, o fonksiyona eşit değildir fakat yakındır. Fonksiyonları polinoma çevirmek için türevden yararlanılır. Birazdan taylor polinomunun nasıl elde edildiğini gördüğünüzde, bunların ne demek olduğunu anlayacaksınız.

Taylor Polinomu Nasıl Elde Edilir?

Şimdi biz bir fonksiyonu  (a + b.x + c.x² + d.x³ . . .) şeklinde yazmak istiyoruz. Denemek için sinx fonksiyonunu seçtiğimizi düşünün.

Amacım sinx = a + b.x + c.x² + d.x³  denkliğinde katsayıları bulup sinx'in taylor polinomunu yazmak.
x'e 0 verirsem sin0 = a olur demek ki a = 0
şuanda sinx'in taylor polinomu = 0

gördüğünüz gibi sinx ile a hiç benzemiyor. Şimdi b katsayısını bulmalıyım,
sinx = a + b.x + c.x² + d.x³ denkleminin her iki tarafından da 1. türevini alıp x'e sıfır verirsem,
cos0=b olur. demek ki b=
şuanda sinx'in taylor polinomu = 0+x

polinomumuz 0 çevresinde sinx'e benzemeye başladı sanırım. şimdi c katsayısını bulalım
sinx = a + b.x + c.x² + d.x³ denkleminin her iki tarafından da 2. türevini alıp  x'e sıfır verirsem c yi bulabilirim.
-sin0=1+2c    c buradan -1/2 gelir.
şuanda sinx'in taylor polinomu = 0+ x - (1/2)x²   bakalım ne kadar benziyor.

sinx = a + b.x + c.x² + d.x³ denkleminin her iki tarafından da 3. türevini alıp  x'e sıfır verirsem,
-cos0 = 6d denklemini elde ediyoruz. Buradan d = -1/6 geliyor.
şuanda sinx'in taylor polinomu = 0+ x - (1/2)x² - (1/6)x³

Gördüğünüz gibi sinx e benzer bir polinom oluşturmak için türevden yararlandık. Taylor polinomu hakkında öğrenmeniz gerekenler bu kadar değil. Şimdiye kadar değişken yerine hep sıfır yazdık. Bu yüzden elde ettiğimiz polinom yalnızca sıfır etrafında yaklaşık değerler sunabilir.

Şimdi yukarıda mantığını anladığınız yöntemi formüle edip basitleştirelim. fark ettiyseniz türev aldıkça değişkenlerin üsleri yanına çarpan olarak iniyor ve bir faktöriyel oluşturuyor. Formüle ederken bunu kullanacağız

Bir de mesela fonksiyonun 30 civarında yaklaşık taylor polinomunu bulmak isteseydik katsayıları bulmak için 

a + b.(x-30) + c.(x-30)² + d.(x-30)³       şeklinde bir polinom bulmalıydık.

bu katsayıları bulmak için kullandığımız yöntemi dikkate aldığımızda ;

şeklinde bir formül elde ederiz. 

bu arada Maclaurin serisi, ilk örnekteki gibi 0 civarında taylor serisinin özel adıdır.

ÖRNEK; 

Mesela sinx fonsiyonunun 30 civarında yaklaşık bir değerini bulmak istiyorsak;

sin30  +  sin'30 . (x-30) / 1!  +  sin''30 . (x-30)² / 2!  +   sin'''30 . (x-30)³ / 3! şeklinde taylor polinomunu yazarız. Eğer daha yakın bir değer elde etmek isterseniz bu seriyi uzatabilirsiniz.

şimdi türevleri alıp 30 u yerine yazıyorum:

0.5  +  0.86602540378(x-30)  -  0,25(x-30)²  -  0,1443375673(x-30)³ 

Bu polinom, sinx fonksiyonunun taylor polinomudur. artık x yerine 30 a yakın şekler yazdığımızda sinx i hesaplayabiliriz. 

Şimdi bazı değerler hesaplayalım

değer   -    Gerçekte    -   Taylor Polinomunda

sin35          0,5735                     -19,46

sin34          0,5591                     -9,273

sin33          0,5446                     -3,049

sin32          0,5299                      0,077

sin31          0,5150                      0,971

sin30          0,5                            0,5

Gördüğünüz gibi taylor polinomunu oluşturduğumuz noktadan uzaklaştıkça sapma artıyor. Eğer polinomu uzatacak olursanız bu sapma azalacaktır. Aslında Taylor serisinin doğru çalışması için 30'a çok yakın değerler kullanmalıydık. Taylor polinomunu sonsuz sayıda türevlenebilen her fonksiyon için kullanabilirsiniz.

Bir örnekte siz yapmaya çalışın. Mesela kök 36'nın ne olduğunu biliyorsunuz. Kök 36 etrafında açacağınız bir taylor polinomu ile kök 37'nin yaklaşık değerini hesaplayın.

İki Değişkenli Fonksiyonun Taylor Polinomu Nasıl Elde Edilir?

Taylor serisi, bir değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi çok değişkenli fonksiyonlara da uygulanabilir. Bu başlık altında iki değişkenli bir fonksiyonu taylor polinomu şeklinde yazmaya çalışacağız. Bunu yapmak için kısmi türevden yararlanacağız.

Çok değişkenli fonksiyonlarda işlem sayısı fazla olduğu için tek değişkenli fonksiyona göre biraz daha farklı bir formülasyon kullanacağız. Şimdi işin mantığına bakalım.

Amacımız f(x,y) şeklinde bir fonksiyonu polinom olarak yazmak. Böyle bir polinomun şuna benzemesini bekleriz:

a + b.x + c.y + d.x² + e.x.y + f.y²  . . .

Eğer yukarıdaki yazıda bir değişkende taylor serisini nasıl açtığımızı okuduysanız bu polinomda da katsayıları nasıl bulacağımızı kolayca fark edebilirsiniz. Katsayıları kısmi türev ile kolayca bulabiliriz. Mesela b'yi bulabilmek için f(x,y) fonksiyonumuzu x'e göre türevini alırız, sonra da x ve y'ye 0 yazarız. c katsayısını bulmak istersek f(x,y) fonksiyonunu y'ye göre türevleriz. Parametrelere de 0 yazarsak elde edeceğimiz sonuç c katsayısı olur.

Taylor serisini 0'dan farklı bir nokta da da açmak isteyebileceğimiz için x yerine x-h, y yerine y-g yazmayı tercih ediyoruz. Fakat  Böylece (h,g) noktaları civarında aradığımız taylor polinomu:

a + b.(x-h) + c.(y-g) + d.(x-h)² + e.(x-h).(y-g) + f.(y-g)²  şeklini alır.    

şimdi işin zor kısmını yani formülleştirme işini yapalım. 

                                       ______

Fonksiyonumuz f(x,y) =√x²+y 3  olsun. Şimdi uzun yoldan yavaş yavaş bu fonksiyonun taylor polinomunu elde edelim, sonra da genel formülü bulalım.

fonksiyonumuzu (1,2) noktası etrafında polinom haline getirmek istiyoruz ve Polinom şuna benzemeli:

a + b.(x-h) + c.(y-g) + d.(x-h)² + e.(x-h).(y-g) + f.(y-g)²          h = 1  ,  g = 2

f_{1 : x'e göre kısmi türev}

f_{2 : y'ye göre kısmi türev}

f_{12 =} f₂₁

polinom üzerinde işlemler;  

                     

a = f (h,g) 

b = f₁(h,g)

c =  f₂(h,g)

d = f₁₁(h,g) / 2   

e = f₁₂(h,g) 

f = f₂₂(h,g) / 2  

fonksiyon üzerinde işlemler; 

                       

taylor polinomu : 3  +  (x-1)/3  +  2(y-2)  +  4.(x-1)²/27  -  2(x-1)(y-2)/9  + (y-1)²/3

Şimdi yaptığımız örnekten yola çıkarak bir genelleme yapalım. Böylece iki değişkenli fonksiyonlarda kolayca taylor serisi açabiliriz.  

Polinoma baktığımızda eğer kat sayılar uygun olsa bir binom açılımına benzediğini görürüz. Belki küplü terimlere kadar açınca daha iyi görebilirsiniz;

a + b.(x-h) + c.(y-g) + d.(x-h)² + e.(x-h).(y-g) + f.(y-g)²  + g.(x-h)³ + h.(x-h)².(y-g) + i.(x-h).(y-g)² + j.(y-g)³  

katsayıları önemsemediğimizde bu polinomu;

a+ ((x-h) + (y-g))¹ + ((x-h) + (y-g))² + ((x-h) + (y-g))³. . .

şeklinde yazabiliriz. Şimdi polinom üzerinde işlemler kısmına bakacak olursanız, binom açılımı için gerekli katsayıların geldiğini göreceksiniz. Küçük bir ayrıntı daha var. d,e,f katsayılarına bakarsanız 1/2  ,  1  ,  1/2 şeklinde olduğunu görürsünüz. Normalde katsayıların  1x²  +  2xy  +  1y²  şeklinde olmasını beklerdik. Bu farkın sebebi 1/n! çarpanıdır. Yukarıda, tek değişkenli taylor serisi formülünde olduğu gibi burada da 1/n! çarpanı vardır. Bu çarpan paragrafın üstünde bulunan polinomun her parantezinin başına konur ve n yerine parantezin üssü yazılır. Yani genel polinom gösterimimiz şu hale gelir;

a+ 1/1!((x-h) + (y-g))¹ + 1/2!((x-h) + (y-g))² + 1/3!((x-h) + (y-g))³. . .

Eğer x'e göre türevi D1 . f(x,y), y'ye göre türevi D2 . f(x,y)şeklinde gösterecek olursak Yukarıdaki polinomun bir parantezini şu şekilde formüle edebiliriz;

Altı çizili olan kısım katsayıyı, en sondaki kısım değişkenleri belirler. Buradaki 1/m!.(m-n)! ifadesi binom açılımının katsayılarını ifade eder.

Az önce söylediğim gibi bu denklem sadece bir parantezin içini verir. Şimdi bunu tüm taylor serisini verecek şekilde genişletelim.

Burada t, seriyi hangi üsse kadar açacağınızdır. Eğer t sonsuz olursa fonksiyon ile taylor polinomu birebir sonuç verir. Fakat bu sonsuz polinom, fonksiyona yakınsamaya da bilir.

ÖRNEK;

KAYNAKÇA:

^{https://tr.coursera.org/learn/hesap-calculus-dersi/lecture/oYc76/taylor-serileri}

^{https://tr.wikipedia.org/wiki/Taylor_serisi}

^{http://www.fatiherdem.net/taylor-serisi-uzerine-2/}

^{http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=b06b5541a62ed438f956b662b4e1ec28}

^{Kalkülüs Eksiksiz Bir Ders , Robert A. Adams , Christopher ESsex , Mehmet Terziler ve Tahsin Öner çevirisi}